三角函數恒等變換教案(1)

兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

一、教學目標

理解基于兩角差的余弦公式，將其用于推導兩角和、差正弦以及正切公式這樣一種大學網所涉及的方法，體會三角恒等變換呈現特點的過程之時，透徹理解推導過程，進而掌握其應用領域 二、教學之中重點以及難點存在之處。

1. 教學重點：推導兩角和、差的正弦與正切公式的進程以及對其進行施用；2. 教學難點：靈活運用兩角和與差的正弦、余弦以及正切公式。三、學法與教學用具 學法：采用研討式教學 四、教學設想：

（一）復習式導入：大家首先回顧一下兩角和與差的余弦公式：

這個是兩角和跟差的余弦公式，接下來各位思索一下，兩角和同差的正弦公式是什么模樣的呢？

第一章里，我們借助誘導公式五，或者誘導公式六，能夠達成正弦與余弦之間的相互轉化，那么，這對于我們去處理今天所面臨的問題，有沒有起到幫助作用呢？

讓學生動手完成兩角和與差正弦和正切公式.

使學生經過仔細全面的觀察去認識兩角和與差正弦公式所具備的特征，隨后對兩角和與差正切公式開始進行富有深度的思考，（學生親自施行動作）。

上面我們獲取到了兩角和的正切公式，我們可不可以推導出兩角差的正切公式呢？

（二）例題講解

例1、利用和（差）角公式計算下列各式的值：

27iss2o4c2s7onc24is（1）、n

s2oc07socn02ni07sis；（2）、0

；（3）、

1n51a?t

1n51a?t

解答：剖析：解答這種類型的題目，第一步要先掌握觀察的方法，瞧瞧題目里面給出的式子，跟我們學習的知識中所涉及的兩角和與差的正弦、余弦以及正切公式中的哪一個比較相像。

好的，請你提供一下原句的中文內容，以便我按照要求進行改寫。

； 2

（3）、

0n6at?335

例3

xx

剖析：這道題目，和我們之前所學習的兩角和以及差正弦、余弦還有正切公式，它并不是很相似，然而，我們是不是能夠找出其中的規律？

思考：?正、余弦分別等于和

小結，本節，我們，學習了，兩角和，與差，正弦，余弦，和正切，公式，我們，要，熟記，公式，在，解題過程中，要，善于，發現，規律，學會，靈活，運用，作業。

22

值．

二倍角的正弦、余弦和正切公式

一、教學目標

基于兩角和的正弦、余弦以及正切公式作為根基，去推導二倍角的正弦、余弦以及正切公式，透徹地領會推導的進程，熟練地掌握其實際應用。二、關于教學方面的重點以及難點有哪些。

教學重點在于，以兩角和的正弦公式為根基，推導二倍角正弦公式，以兩角和的余弦公式為基礎，推導二倍角余弦公式，以兩角和的正切公式為依據，推導二倍角正切公式。

需要理解的教學難點，是二倍角，以及要能夠靈活運用它。三、關于學法與教學用具，學法是采用研討式教學。四、給出教學設想且有相關內容：

在進行復習式導入時，大家要先去回顧一下，關于兩角和的正弦公式，關于兩角和的余弦公式，關于兩角和的正切公式。

我們從這里能不能得出sin2?，cos2?，tan2?的公式呀？（讓學生自己去動手，把上述公式當中的?看作是?就行）， （二）公式的推導：

（三）例題講解 例4、已知sin2??

求正弦4倍角,余弦4倍角,正切4倍角的值，1342。

512

120

cos4?119?13?169

169

例5、已知tan2??,求tan?的值． 解：tan2??

2tan?12

，由此得2

13

一節里，我們學了二倍角的正弦公式，還有二倍角的余弦公式，以及二倍角的正切公式，這些公式我們得牢牢記住，在解答題目時，要善于找到其中規律，學會靈活地去運用它們。

例6、試以cos?表示sin2,cos2,tan2

解釋一下，我們能夠借助二倍角，cos等于2倍cos2，由于cos等于1減去2倍sin2，鑒于cos等于2倍cos2。

來做此題．

，可以得到sin2

． 2

?1，可以得到cos2

又因為tan2

sin2

思考：代數式變換與三角變換有什么不同？

代數式變換常常著重于式子結構形式的轉變，對于三角變換而言，因為不同的三角函數式不但會存在結構形式方面的不同，而且還會有式子所包含的角，以及這些角的三角函數種類方面的不同，所以三角恒等變換通常首先探尋式子所包含的各個角之間的關聯，這是三角式恒等變換的關鍵特性。 例7、求證：

cos

2cos

思考：在例２證明中用到哪些數學思想？

表明在證明期間運用了換元想法，（１）式呈現為積化和差的形態，（２）式展現為和差化積的樣式，于后續的練習里面存在六個涉及積化和差、和差化積的公式． 例 8。

、求函數y?sinxx的周期，最大值和最小值．

解：y?sinx

x這種形式我們在前面見過，

所以，所求的周期T?

?2?，最大值為２，最小值為?2．

點評：例３屬于三角恒等變換于數學方面應用的舉例，它致使三角函數里針對函數。

對Y等于A乘以正弦括號歐米伽X加初相的性質所進行研究呈現出得到延伸這種情況，其展現了三角變換于化簡三角函數式方面。

中的作用．

此節小結，雖僅安排一至兩個課時的時長，然而卻是相當關鍵的內容，我們得對變換進程所展現的諸如換元、逆向運用公式等數學思想方法予以加深認知，進而學會靈活地加以運用。總結為：1．。

公式的變形

升冪公式三角函數正弦余弦公式，其一，1加上cos2α等于2倍的cos方α，其二，1減去cos2α等于2倍的sin方α。

（3）正切公式的變形出現如下情況。tanα加上tanβ等于tan(α + β)乘以（1減去tanαtanβ），以及tanα減去tanβ等于tan(α - β)乘以（1加上tanαtanβ）標點為句號。（4）存在這樣的萬能公式，其內容是用tanα來表示其他三角函數值。所以為句號。

2．

插入輔助角公式

3．

熟悉形式的變形（如何變形）

1加上或減去sinx，再加上或減去cosx，1加上或減去sinx，1加上或減去cosx，tanx加上cotx，1減去tanα1。

＋tanα

1＋tanα1－tanα

假設A、B屬于銳角范疇，且A與B相加的和等于某個值，在此情況下，（1加上tanA）與（1加上tanB）相乘的結果等于2。

4． 在三角形中的結論（如何證明） A+B+Cπ

若：A＋B＋C=π =

tan tan ＋tan＋tantan＝1 222222

9．求值問題

（1）已知通過角來求具體值的題目 比如 像sin555°這種 （2）已知具體值去求相關值的問題 常常會運用拼角以及湊角來進行求解。

π3π35

如：1）已知若cos( －α)＝，＋β)＝

45413 π3ππ

34

啥呀這題，已知，正弦α加上正弦β等于，某一未知值，余弦α加上余弦β等于，另一未知值，然后求，余弦，括號，α減去β，的值，這咋算呀。

55（3）已知值求角問題

首先三角函數正弦余弦公式，要進行第一步，即去求出這個角的某一三角函數值，其次，第二步要去確定這個角的范圍。 π11。

已知，正切值為某值的α，正切值為另一值的β，并且αβ二者皆為銳角，證明：α加上兩倍的β等于某值。

7341.（2010全國卷1理）(2)，將記cos（?80?）的值設為k，之后求tan100?的值，那么tan100?的值該如何求解呢？

，化簡：

lg(cosx?tanx?1?2sin2)?x?)

?lg(1?sin2x).

22

解析，原式當中，有lg(sinx?cosx)，還有lg(cosx?sinx)，并且lg(sinx?cosx)2等于0，3.（2010天津文）（17）（本小題滿分12分）

在?ABC中，

ACcosB

?。 ABcosC

（Ⅰ）證明B=C：

（Ⅱ）若cosA=-，求sin?4B???的值。

【解析】，本小題，主要考查，正弦定理，以及，兩角和與差的正弦，還有，同角三角函數的基本關系，以及，二倍角的正弦與余弦，等基礎知識，考查，基本運算能力，滿分12分。

（Ⅰ）證明：在ABC中，由正弦定理及已知得

sinBcosB

=.于是sinCcosC

由于sinBcosC減去cosBsinC等于0，也就是sin（B減C）等于0，鑒于B和C的某種關系，進而得出B減C等于0，所以B等于C。

第（Ⅱ）部分解答如下，鑒于A加B加C等于π以及第（Ⅰ）小問的結論，可知A等于π減去2B，所以cos2B等于負的cos（π減去2X）結果為負的cosA，因而等于。

又0

= 從而

sin4B=2sin2Bcos2B=

. 3

13

7，cos4B=cos22B?sin22B??.

99

所以sin(4B?)?sin4Bcos?cos4Bsin

4.（2010年湖北理科），16.（此小題滿分為12分），已知有一個函數f(x)，它等于cos(?x)與cos(?x)相乘，還有一個函數g(x)，它等于sin2x減去。 （你后面內容沒給完整，我只能先改寫到這）

214

（Ⅰ）求函數f(x)的最小正周期；

(Ⅱ)求解函數\(h(x)=f(x) - g(x)\)的最大值，并且求出使得\(h(x)\)獲取到最大值時\(x\)的集合。

5.（2009江蘇，15）設向量a為(4cos?,sin?)，設向量b為(sin?,4cos?)，設向量c為(cos??4sin?) ，（1）若向量a與向量b減去2倍向量c垂直，求tan(???)的值 ；（2）求向量b減去向量c的模的最大值。

（3）若tan?tan??16，求證：a∥b.

剖析，本小題目主要是去對向量的基本概念予以考查，與此同時，還考查同角三角函數的基本關系式，也考查二倍角的正弦，以及兩角和的正弦與余弦公式，并且考查運算以及證明的基本能力。

6.（2009年安徽卷理科）在三角形ABC當中，sin(C減A)等于1，sinB等于某個值。（I）求sinA的值。

(II)設

?ABC的面積.

本小題著重考查，三角恒等變換方面的知識，以及正弦定理方面的知識，還考查解三角形方面的知識，考查運算。

算求解能力。

你提供的內容可能存在一些錯誤或不清晰的地方，不太能準確理解完整意思并進行準確改寫。請你檢查或補充完整準確的內容后再要求改寫。

0，∴sinA?

233

2?4B2?BB(cos)422

B2

ACBC

?（Ⅱ）如圖，由正弦定理得

sinBsinA

A B

ACsinA

sinB

cosAsinB

33333

12

42

8.（2009天津卷理）在⊿ABC中，

AC=3，sinC=2sinA (I) 求AB的值：

此小題著重考查正弦定理，以及余弦定理，還有同角三角函數的基本關系，以及二倍角的正弦與余弦，甚至兩角差的正弦等基礎知識，對基本運算能力予以考查，滿分12分。

在三角形ABC當中，依據規定的正弦定理，由此得出這樣的結果，等于sinC乘以BC，進而等于2乘以BC，最終等于2。

sinA

ABBC

sinCsinA

AB2?AC2?BD225

2AB?AC5

（Ⅱ）解：在三角形ABC當中，依據余弦定理來算，得出cosA等于，于是sinA等于，進而。

55

所以，sin(2A減去某個角度)等于sin 2A乘以cos該角度減去cos 2A乘以sin該角度，等于。

10

π4